Criterium van Eisenstein

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een gegeven polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom dat aan de voorwaarden voldoet, die in het criterium zijn gesteld, is irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen.

Het criterium is naar Ferdinand Eisenstein genoemd. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd, maar werd daarna ook door Eisenstein gebruikt. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in $\mathbb {Z} [i]$, niet $\mathbb {Z}$.

Criterium

Het polynoom

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

met gehele coëfficienten is irreducibel over de rationale getallen, als er een priemgetal $p$ is, zodanig dat

• $a_{n}$ niet door $p$ kan worden gedeeld,
• alle andere coëfficienten $a_{i}$ wel door $p$ kunnen worden gedeeld en
• $a_{0}$ niet door $p^{2}$ kan worden gedeeld.

Bewijs 

Het bewijs gebruikt voor een deel volledige inductie en is voor een deel een bewijs uit het ongerijmde.

Beschouw een polynoom $f$ en stel dat er niet-constante polynomen $g$ en $h$ met gehele coëfficienten zijn, zo dat $f(x)=g(x)\cdot h(x)$.

$g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}$

$h(x)=c_{k}x^{k}+c_{k-1}x^{k-1}+\ldots +c_{1}x+c_{0}$

$n=m+k$

$b_{m}$ en $c_{k}$ kunnen geen van beide door $p$ worden gedeeld, omdat $a_{n}$ niet door $p$ kan worden gedeeld. Er volgt uit $a_{0}=b_{0}c_{0},\ a_{0}\ {\text{mod}}\ p\ =\ 0$ en $a_{0}\ {\text{mod}}\ p^{2}\ \not =\ 0$, dat een van de twee $b_{0}$ en $c_{0}$ een keer door $p$ is te delen, de andere niet. Kies de coëfficiënten, zodat $b_{0}\ {\text{mod}}\ p=0$ en $c_{0}\ {\text{mod}}\ p\ \not =\ 0$.

$a_{r}=\sum _{i+j=r}b_{i}\ c_{j}=b_{0}\ c_{r}+\cdots +b_{r}\ c_{0}$,

waarin de coëfficiënten $b_{i}$ en $c_{j}$ gelijk aan 0 kunnen zijn, omdat $i>m$ of $j>k$ daarin mogelijk is.

Voor alle $i$ tot en met $n-1$ is het zo, dat $b_{i}$ door $p$ kan worden gedeeld of gelijk aan nul is. Dit deel wordt met volledige inductie bewezen.

Inductiebegin

$b_{0}$ kan door $p$ worden gedeeld. Dat is afgeleid.

Inductieveronderstelling

Veronderstel voor bepaalde $r$ dat voor alle $i<r$ het zo is dat $b_{i}$ door $p$ kan worden gedeeld of gelijk aan nul is.

Inductiestap

$a_{r}=\sum _{i+j=r}b_{i}\ c_{j}=b_{0}\ c_{r}+\cdots +b_{r}\ c_{0}$

Gegeven dat $r<n$ kan $a_{r}$ door $p$ worden gedeeld. Dat betekent dat $b_{r}$ ook door $p$ kan worden gedeeld of gelijk aan nul is. $c_{0}$ kon niet door $p$ worden gedeeld, maar alle $b_{0}\ ,\ \cdots \ ,\ b_{r-1}$ wel. De inductiestap is daarmee gezet.

Er doet zich nu bij $a_{n}$ een tegenspraak voor.

$a_{n}=\sum _{i+j=n}b_{i}\ c_{j}=b_{0}\ c_{n}+\cdots +b_{n}\ c_{0}$

$b_{n}=0$, omdat $m$ de coëfficiënt van de hoogste macht van $g$ is en $m<n$, en alle andere $b_{i}$ kunnen in ieder geval door $p$ worden gedeeld. Het is gegeven dat $a_{n}$ niet door $p$ kan worden gedeeld, maar alle termen in de som $b_{0}\ c_{n}+\cdots +b_{n}\ c_{0}$ kunnen wel door $p$ worden gedeeld, hun som dus ook en dat geeft een tegenspraak.

Voorbeelden

• $3x^{3}+5x^{2}+15x+10$ is irreducibel, omdat de coëfficiënten 5, 15 en 10 door het priemgetal 5 kunnen worden gedeeld, maar 3 niet en 10 niet door 25 kan worden gedeeld.
• $x^{n}-p$, met $n$ vrij en $n$ een priemgetal, is irreducibel.
• Als $p$ een priemgetal is, dan is

$x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1$

irreducibel.

Bewijs 

$x^{p}-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1)$

Na substitutie van $x=y+1$ is deze vergelijking met binomiaalcoëfficiënten te schrijven als:

$x^{p-1}+x^{p-2}+\ldots +x+1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}={\frac {(y+1)^{p}-1}{y}}=y^{p-1}+\sum _{j=1}^{p-1}{\binom {p}{j}}y^{j-1}$

De coëfficiënt 1 van de hoogste macht van $y$ kan niet door $p$ worden gedeeld, maar alle andere coëfficiënten wel en de constante term, die ook $p$ is, kan niet door $p^{2}$ worden gedeeld. Uit het criterium van Eisenstein volgt nu dat het polynoom in $y$ irreducibel is, dus is ook het oorspronkelijke polynoom in $x$ irreducibel.

Algemeen

Als de gehele getallen door een uniek factorisatiedomein $D$ worden vervangen, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam $F$ van $D$ en $p$ door een priemelement in $D$, dan geldt het criterium ook.

websites

• MathWorld. Eisenstein's Irreducibility Criterion.

voetnoten

Journal für die reine und angewandte Mathematik wordt afgekort tot Crelle's Journal.